Integrales

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Un aspecto fundamental del cálculo integral es determinar las áreas que se encuentran entre curvas y otras fronteras definidas. Asimismo, si se conoce la derivada de una función, con el cálculo integral podrá obtenerse la función original.

El proceso de encontrar las antiderivadas suele recibir el nombre de integración. Y la familia de funciones obtenidas mediante ese proceso se llama integral indefinida. La notación:  ∫f(x) dx se emplea con frecuencia para indicar la integral indefinida de la función f. El símbolo ∫ es el signo de integral; f es el integrando, o sea la función cuya integral indefinida se desea obtener; y dx, tal como se considera aquí, denota la variable respecto de la cual se realiza el proceso de integración. 

Como en el caso de la diferenciación, se ha ideado un conjunto de reglas que permite calcular las antiderivadas. Si una función presenta una forma determinada, tal vez se disponga de una regla para determinar fácilmente su antiderivada.

Las principales reglas de integración son:

Las operaciones de integración de funciones pueden llegar a ser muy complicadas. Para facilitarlas se han ideado diversos procedimientos generales, de los cuales los más extendidos son los llamados métodos de sustitución o cambio de variable y de integración por partes.

1. Sustitución

Uno de los dos procedimientos más habituales para la resolución de integrales complicadas es el llamado método de sustitución o de cambio de variable. Esta técnica consiste en introducir una nueva variable t para sustituir a una expresión apropiada del integrando, de manera que la expresión resultante sea más fácil de integrar. Por ejemplo, la integral:

se simplifica notablemente si se aplica el cambio t = sen x. Entonces, se cumpliría que dt = cos x dx, con lo que la integral quedaría reducida a:

Finalmente se desharía el cambio de variable, con lo que el resultado final sería:

2. Por partes

El método de la integración por partes se emplea para simplificar el cálculo de la integral de un producto de funciones que puedan interpretarse como del tipo u (x) × v¿ (x). La fórmula de la integración por partes es la siguiente:

Este método resulta indicado particularmente cuando v × du es más fácil de integrar que u × dv.

En R puedes definir la función que quieres integrar y después utilizar integrate()

expresion <- function (x)  x + 1/4*x
##Integrar la función, colocando los límites
integrate(expresion, 0, 1)
##Solucion numérica de la integral
0.625