
Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos.
La derivada de la función con respecto a la variable
, en el punto
es:
si este límite existe. La derivada de una función tiene diferentes notaciones, todas son correctas, las más comunes son:
¿Cómo calcular derivadas?
Para calcular la derivada de una función claramente se tiene que aplicar la fórmula antes expuesta, sin embargo a veces suele ser muy largo el proceso de calcular un límite, por lo que después de un proceso de inducción, se tienen algunas reglas/fórmulas para derivar de una forma más sencilla:
Reglas de derivación
Sean y
dos funciones que vamos a denotar por
y
.
Derivada de la suma/resta de dos funciones | La derivada de una suma/resta de dos funciones es la suma/resta de las derivadas de estas funciones. | |
Derivada del producto de dos funciones | La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la segunda derivada. | |
Derivada del cociente de dos funciones | La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador al cuadrado. | |
Derivada del producto de una constante a por una función | La derivada de una función por una constante es la deriva de la función por la constante sin derivar. |
Cuando se tiene una composición de funciones, es decir, que primero se aplica una función y al resultado de esa está otra función, también se tiene un procedimiento para calcular la derivada, esta se llama “Regla de la cadena”:
Hay otras derivadas que ya están definidas, y es recomendable tenerlas aprendidas de memoria para así al momento de aplicar las fórmulas anteriores se logré hacer mucho más rápido.
Para calcular derivadas en R existe el paquete «Deriv» el cual tiene ese objetivo. La función Deriv( ) es la que nos devuelve la derivada de laexpresión que nosotros escribamos entre corchetes.
library(Deriv)
##Declarar la función
> function(x) x**2
function(x) x**2
> Deriv(f)
expression(2 * x) ##Resultado
Para que la función Deriv( ) funcione, la expresión debe ser de las siguientes formas:
- Una función definida por el usuario: function(x) x**n
- Un elemento «x**n»
- Una expresión: expression(x**n)
- Una llamada: call(«^», quote(x), quote(n))
- Un lenguaje: quote(xn)
- El lado derecho de una fórmula: ~ x**n or y ~ x**n
