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Derivadas

Todo lo que necesitas saber de las Derivadas | Compilando Conocimiento
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Formalmente, cuando calculamos la derivada de una función lo que estamos calculando es el valor de un límite que mide la razón a la que cambia dicha función con respecto a su variable, respecto a la que derivamos.

La derivada de la función f(x) con respecto a la variable x, en el punto x=a es:

f'\left( a\right) =\lim _{h\rightarrow 0}\dfrac {f\left( a+h\right) -f\left( a\right) }{h}

si este límite existe. La derivada de una función tiene diferentes notaciones, todas son correctas, las más comunes son: f'\left( x\right) =\dfrac {d}{dx}f\left( x\right) =\dfrac {df\left( x\right) }{dx}

¿Cómo calcular derivadas?

Para calcular la derivada de una función claramente se tiene que aplicar la fórmula antes expuesta, sin embargo a veces suele ser muy largo el proceso de calcular un límite, por lo que después de un proceso de inducción, se tienen algunas reglas/fórmulas para derivar de una forma más sencilla:

Reglas de derivación

Sean  f(x) y  g(x)  dos funciones que vamos a denotar por  f y  g .

Derivada de la suma/resta de dos funciones \left( f\pm g\right) '=f'\pm g'La derivada de una suma/resta de dos funciones es la suma/resta de las derivadas de estas funciones.
Derivada del producto de dos funciones \left( f\times g\right) '=f'\times g+f\times g'La derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera función por la segunda sin derivar más la primera sin derivar por la segunda derivada.
Derivada del cociente de dos funciones\left( \dfrac {f}{g}\right) ^{'}=\dfrac {f'\cdot g-f\cdot g'}{\left( g\right) ^{2}}La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada del numerador por el denominador sin derivar menos el numerador sin derivar por la derivada del denominador, todo ello dividido entre el denominador al cuadrado.
Derivada del producto de una constante a por una función\left( a\cdot f\right) '=a\cdot f'La derivada de una función por una constante es la deriva de la función por la constante sin derivar.

Cuando se tiene  una composición de funciones, es decir, que primero se aplica una función y al resultado de esa está otra función, también se tiene un procedimiento para calcular la derivada, esta se llama “Regla de la cadena”:

\left[ g\left( f\left( x\right) \right) \right] '=g'\left( f\left( x\right) \right) \cdot f'\left( x\right)

Hay otras derivadas que ya están definidas, y es recomendable tenerlas aprendidas de memoria para así al momento de aplicar las fórmulas anteriores se logré hacer mucho más rápido.

Para calcular derivadas en R existe el paquete «Deriv» el cual tiene ese objetivo. La función Deriv( ) es la que nos devuelve la derivada de laexpresión que nosotros escribamos entre corchetes.

library(Deriv)
##Declarar la función
> function(x) x**2
function(x) x**2

> Deriv(f)
expression(2 * x)    ##Resultado

Para que la función Deriv( ) funcione, la expresión debe ser de las siguientes formas:

  • Una función definida por el usuario: function(x) x**n
  • Un elemento «x**n»
  • Una expresión: expression(x**n)
  • Una llamada: call(«^», quote(x), quote(n))
  • Un lenguaje: quote(xn)
  • El lado derecho de una fórmula: ~ x**n or y ~ x**n
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