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Introducción a las Matemáticas: Vectores y matrices

El Álgebra nos ayuda a trabajar con los datos de manera uniforme y objetiva, normalmente los datos vienen en data frames/ tablas, los cuales se pueden trabajar como su fueran matrices, y las columnas/variables como vectores.

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Un número como tal sólo la cifra se considera un «escalar” ej. 3. se tienen diferentes conjuntos de escalares, cada uno con diferentes propiedades, los números reales, los enteros, naturales.

Luego está el vector el cual es un arreglo de números, un vector de n componentes se define como un conjunto ordenado de n números.

  • Vector fila: Consta de una fila y n columnas o entradas.
  • Vector columna: Consta de n filas y una columna.


Se pueden realizar diferentes operaciones entre vectores:

  • Producto de un vector por un escalar: es la operación de multiplicar cada componente del vector por un escalar determinado: c * (a1,a2...an) = (c*a1 + c*a2 + ... + c*a3)
  • Suma entre vectores: está dada por la operación de sumar componente a componente de cada vector involucrado en la suma: (a1,a2,...,an) + (b1,b2,...,bn) = (a1+b1,a2+b2,...an+bn)
  • Producto escalar entre vectores: sean a y b, dos vectores de n componentes. Entonces el producto escalar de a y b está dado por: a1*b1 + a2*b2 + a3*b3...an*bn. lo cual da como resultado un escalar.

Una matriz es un arreglo bidimensional de números. Cada elemento de la misma está identificado por dos índices, primero el que indica en qué fila se encuentra y el segundo la columna. Se tienen diferentes tipos de matrices:

Las operaciones entre matrices son:

  • Suma de matrices: Sean A y B dos matrices de tamaño m x n. Entonces la suma de A y B es una matriz está dada por:
https://lh5.googleusercontent.com/c7nUblRDdgdHASRdGPFE2_mW8P5tMuy9hR9B0viUwTV0__Uz-g_qSgdiddi7mbp3Ygc5S2k4aapoeFJXaRsx6p_YYuBb-Y-sfqzkSSSfrxaZ9SfvbpePaK9P8DtKQOneYXp6bU04

Dos matrices se pueden sumar únicamente si poseen la misma dimensión.

  • Multiplicación de una matriz por un escalar: Si A es una matriz de tamaño m x n y si α es un escalar, entonces el resultado de multiplicar α por A da como resultado una matriz de tamaño m x n, donde cada componente es el resultado de multiplicar cada componente de A por α, tal como se muestra a continuación:
https://lh6.googleusercontent.com/5x9nYF1iB1uRqwVk063zitWPffJJNWLedRNptBkSnlp3wPhFwYIgZ2_wZYub1BliwFscBmVaaboC0r5cUo1otLilfqiuZ_lm-hHOMZs0sMOZNgk3rjNSfjPly6rnPnFCUqDbP8p_
  • Producto de matrices: Sea A una matriz de m x n, y sea B una matriz de n x p. Entonces el producto de A y B es una matriz C de tamaño m x p donde:
https://lh6.googleusercontent.com/tuDwCe_kD9Nii4W45z5YO1XDMFId0rSzQBGqmttXNySm6-3TCVG84wGcF3y7EwFB7OaYz5KEPeRHTEvdxb38bNU2IzAQo0-8GpNVmOTxXQqZVw7ECzAEzhOalxQJ-qUpdyaFp1FJ

A continuación se adjunta un código en R, donde se aplican las principales funciones para crear y manipular matrices y vectores.

##Crear un vector numerico
edad <- c(22,34,29,25,30,33,31,27,25,25) 
##Preguntar el tipo de objeto  
class(edad)  
##Crear un vector de caracteres
letras <- c("a","b","c","d","e")   
class(letras)
##Preguntar el tamaño del vector
length(letras)  

##Acceso a los componentes del vector
letras[4]   ##Entrada en la posición 4 del vector
letras[2:5]  ##Entradas de la posición 2 a la 5 del vector
letras[c(1,3,5)]   ##Entradas en la posición 1,3,5 del vector
 edad[edad>25]   ##Las que son mayores a 25

##Matrices: vectores con filas y columnas
##Crear una matriz de tres filas y dos columnas
my_matrix2 <- matrix(c(1,2,4,6,8,6), nrow=3,ncol=2,byrow=TRUE)  
my_matrix2
##Agregar nombres a las columnas
colnames(my_matrix2) <- c("Elena","Susy")    
my_matrix2
##Agregar nombres a las filas
rownames(my_matrix2) <- c("Portugal","Espana","Mexico")  
my_matrix2
###Acceso a los componentes de la matriz
my_matrix2[ ,1]  ##Primer columna
my_matrix2[1, ]  ##Primer fila
my_matrix2[1,2] ##Primer fila y segunda columna

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