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Sistemas de ecuaciones lineales

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La aplicación que tienen los sistemas de ecuaciones dentro de la ciencia de datos es al momento de modelar, cuando tenemos cierta información para empezar a crear modelos que nos den predicciones y obtenemos sistemas de ecuaciones pues empezamos a ver la relación que tienen unas variables con otras.

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En matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, es un conjunto de ecuaciones lineales (es decir, un sistema de ecuaciones en donde cada ecuación es de primer grado), definidas sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables Xn que satisfacen las ecuaciones.

En general el sistema de ecuaciones se puede ver en forma matricial:

Podemos clasificar los sistemas de ecuaciones lineales según su número de soluciones de la siguiente forma:

  • Sistemas con una solución: Las ecuaciones del sistema son rectas secantes. Se cortan en un punto (x, y) que es la solución del sistema.
  • Sistemas sin solución: Las ecuaciones del sistema son rectas paralelas. No tienen ningún punto en común, y por tanto no hay solución
  • Sistemas con infinitas soluciones: Las ecuaciones del sistema son rectas coincidentes. Tienen todos los puntos en común, y por tanto todos ellos son solución.

Una de las opciones más utilizadas para resolver los sistemas de ecuaciones lineales es el Método de Gauss-Jordan el cuál consiste en convertir la matriz de nuestro sistema en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficiente situado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado de manera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.

A continuación se muestra un ejemplo para resolver el siguiente sistemas de ecuaciones:

Aplicamos transformaciones a la matriz como lo indica el método:

Regresamos esa matriz en forma de ecuaciones y las resolvemos:

Utilizamos el mismo sistema de ecuaciones para resolver el ejemplo en R, con la funcion solve que nos devuelve el resultado

##Escribir en forma matricial el sistema de ecuaciones
a <- matrix(c(1,3,-2,1,-2,1,1,-1,2),3,3)  
b <- c(2,4,2)   

##Funcion para resolver el sistema
solve(a,b)    

Observamos que es la misma solución que obtuvimos arriba.

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